I. BẢNG NGUYÊN HÀM
Định nghĩa nguyên hàm
Trong bộ môn giải tích, một nguyên hàm của một hàm số thực cho trước f là một hàm F có đạo hàm bằng f, nghĩa là, F′ = f. Quá trình tìm nguyên hàm được toán học gọi bằng cái tên tích phân bất định. Tìm một biểu thức cho nguyên hàm thực tế là công việc khó hơn hẳn so với việc tìm ra đạo hàm, và không phải luôn luôn thực hiện được.
Tuy nhiên, bất kì hàm số liên tục trên đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, thì đều tồn tại nguyên hàm của hàm số đó xác định trên đoạn hoặc khoảng từ a đến b nêu trên.
Nguyên hàm được toán học xác định mối quan hệ với tích phân thông qua định lý cơ bản của giải tích. Từ đó, nó cung cấp một phương tiện vô cùng tiện lợi để tính toán tích phân trên cơ sở nhiều hàm số.
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên K nếu F(x) khả vi trên K và F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Thí dụ:
- (1) Hàm số f(x) = cos x có nguyên hàm là F(x) = sin x vì (sin x)' = cos x (tức là F '(x) = f(x)).
- (2) Hàm số f(x) = ax có nguyên hàm là:
Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f xác định trên khoảng K.
Khi đó: với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f xác định trên K, và ngược lại với mỗi nguyên hàm G của f xác định trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
Do đó ta thấy nếu F là một nguyên hàm của hàm số f xác định trên K, thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C với số thực C. Vậy F(x) + C với số thực C là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K. Kí hiệu:
Chú ý: Người ta chứng minh được rằng mọi hàm số được xác định là liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Bảng công thức nguyên hàm
Công thức nguyên hàm không thể thiếu trong các bài tập thuộc bộ môn giải tích lớp 12. Đây cũng là một trong những khái niệm toán học xuất hiện khá nhiều trong đề thi đại học. Thực tế, học sinh phần đông khá ngại học toán, vì tư duy rằng dài dòng lý thuyết sẽ không giúp được gì nhiều trong cách giải bài tập.
Do đó, đúc kết lại những gì quan trọng nhất trong bảng nguyên hàm đầy đủ và cơ bản dưới đây sẽ là “cứu tinh” của bạn trong việc giải các bài toán khó:
Xem thêm:
II. ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM
Bên cạnh những định nghĩa và tính chất của nguyên hàm, để giải được các bài toán “lạ”, chúng ta phải hiểu rõ các ứng dụng của nguyên hàm, từ đó phát triển được những công thức đặc biệt. Được House-family tổng hợp dưới đây:
Trên đây là những kiến thức quan trọng về nguyên hàm trong toán học. Mong rằng bạn đã thu lượm được cho mình những kiến thức thật bổ ích. Hãy đi tìm những điều thú vị khác ở những bài viết tiếp theo của House-family nhé!
